Antrittsvorlesung von Prof. Dr. Dirk Lorenz Gute Lösungen für schlecht gestellte Probleme

Prof. Dr. Dirk Lorenz, Institut für Analysis und Algebra der Technischen Universität Braunschweig, hält seine Antrittsvorlesung „Gute Lösungen für schlecht gestellte Probleme“ am

Mittwoch, 19. Januar 2011, um 17.00 Uhr
in der Aula, Haus der Wissenschaft, Pockelsstraße 11, 38106 Braunschweig.

Wenn von Personen ein Bild im Computertomographen angefertigt wird, muss das Gerät dabei ein schwieriges, ja sogar „schlecht gestelltes“, inverses Problem lösen. Das Gerät muss aus Röntgenbildern, die es aus verschiedenen Richtungen aufnimmt, die Dichteverteilung des Körpers und damit auch die Querschnittsbilder berechnen. Dieses Problem nennt man „invers“, da der umgekehrte Weg „direkt“ erscheint: Aus der Dichteverteilung lassen sich einfach die Röntgenbilder berechnen. Doch warum ist das Problem „schlecht gestellt“? Mathematisch ausgedrückt kann man sagen: Die Dichteverteilung hängt nicht stetig von den Röntgenbildern ab. In der Praxis bedeutet das, dass ein kleiner Messfehler in den Röntgenaufnahmen zu einem beliebig großen Fehler in der rekonstruierten Dichteverteilung führen kann.

Schlecht gestellte Probleme sind also nicht Probleme, die „falsch formuliert“ sind, sondern Probleme, in denen die gewünschte Lösung nicht auf direktem Wege stabil berechnet werden kann. Leider treten solche Probleme nicht nur bei der Computertomographie auf, sondern sind sehr häufig anzutreffen. So ist zum Beispiel die Identifikation von Parametern aus Messwerten oder die Lösung von Integralgleichungen in vielen Fällen in diesem Sinne schlecht gestellt.

Obwohl die Situation bei der Lösung eines „schlecht gestellten“ Problems aussichtslos scheint, lassen sich durch „Regularisierung“ der Probleme gute, und in einigen Fällen hervorragende, Lösungen erzielen. Dies ist keine Magie, sondern beruht auf dem einfachen Ansatz, Vorwissen über die gesuchten Lösungen mit einzubeziehen. Die Kombination aus Funktionalanalysis und Numerik führt hier zu Verfahren die eine Vielzahl von Anwendungen in Ingenieur- und Lebenswissenschaften lösbar machen.

Zur Person

Dirk Lorenz (Jg. 1978) studierte Mathematik an der Universität Bremen und promovierte am dortigen Zentrum für Technomathematik im Jahr 2005. Nach einem Forschungsaufenthalt am Technion, Israel Institute of Technology, folgte er 2009 einem Ruf auf eine Juniorprofessur für angewandte Analysis an der Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät der TU Braunschweig. Sein Forschungsgebiet umfasst die Regularisierung von inversen und schlecht gestellten Problemen und die mathematische Bildverarbeitung.